阿贝尔判别法
阿贝尔判别法
阿贝尔(Abel)判别法是分析学中一条十分重要的判定法则,与狄利克雷(Dirichlet)判别法合称为A-D判别法。主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。
级数应用
数项级数
若数列 {an} 单调有界,级数 Σ(n=1,∞) bn 收敛,则任意项数项级数 Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛
函数项级数
若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x∈D关于n单调,且函数列 {an(x)} 在D上一致有界,即 存在M>0,使得│an(x)│≤M (x∈D,n∈N);同时,函数项级数 Σ(n=1,∞) bn(x) 在D上一致收敛,则函数项级数 Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x∈D) 在D上一致收敛
积分应用
反常积分
无穷限反常积分:若∫(a,+∞) f(x)dx收敛,g(x)在[a,+∞)上单调有界,则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛
无界函数反常积分:若∫(a,b) f(x)dx收敛,g(x)在[a,b)上单调有界,则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛
含参变量积分
若(1)、∫(a,+∞) f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛;(2)、g(x,y)关于x单调,即 对于每一个固定的y∈[c,d],g(x,y)是x的单调函数;(3)、g(x,y)一致有界,即 存在M>0,使得│g(x,y)│≤M (a≤x<+∞,y∈[c,d])。则含参变量的反常积分∫(a,+∞) f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛