埃尔朗根纲领
埃尔朗根纲领
1872年德国数学家克莱因在埃尔朗根大学的教授就职演讲中，作了题为《关于近代几何研究的比较考察》的论文演讲，论述了变换群在几何中的主导作用，把到当时为止已发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，把几何定义为一个变换群之下的不变性质。这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位，后来简称为《埃尔朗根纲领》。
影响
埃尔朗根纲领的提出，意味着对几何认识的深化。它把所有几何化为统一的形式，使人们明确了古典几何所研究的对象；同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法，对以后几何的发展起了指导性的作用，有着深远的历史意义。
简介 S仿射群
几何变换
给定任意几何对象的集合M，约定把集合M叫做空间。把M中的每个几何对象（或称为元素）变到另一个几何对象上的过程称为M上的一个几何变换，简称变换。以α表示某一几何对象或由许多对象所构成的图形,以T 表示一个几何变换,则在T之下把α变到另一个对象或图形b,记作T(α)=b,b称为α的像，α称为b的像源。
另取一个变换S作用到b上,设S(b)=c，若这两个变换连续作用，则α变到с,所以α变到с的过程也是一个变换,记作P,即P(α)=с。P称为S和T的乘积,记作P=ST。变换乘积的次序一般是不可交换的，即ST≠TS。
若有三个变换T、S、R，先作用T,其次作用S,最后作用R,其结果是RST,这个记号表示作用的次序是从右边到左边。变换乘积的结合律是成立的:(RS)T=R(ST)=RST。
若变换T,使得每个元素b都是惟一的某个元素α的像，则称T为一对一的变换,这时,T有确定的逆变换,记作T-1，T与T-1的乘积保持每个元素都不动，也就是恒等变换,记作E，即TT-1=T-1T=E。
变换群 设G为M上的有限或无限个变换的集合,且满足下面两个条件:①集合G中任意两个变换的乘积仍属于G；②集合G中每个变换必有其逆变换，而且这个逆变换也属于G，则称G为M上的一个变换群。
若从一个已知变换群G中取出一部分变换,其全体也构成一个变换群G1，则称G1为G的一个变换子群。
由定义易知：平面上或空间中的运动集、仿射变换集、射影变换集等等各构成一个变换群，分别称为运动群、仿射群、射影群等等；运动群是仿射群的一个子群，运动群和仿射群都是射影群的子群。
给定空间M和它的一个变换群G,若在G中有一个变换，把图形α变到图形b,则称α与b是等价的。从变换群的定义可推出：
① 若图形α与图形b等价，则图形b也与图形α等价。事实上，若图形 α与b等价，则群G中必有一变换T，使T(α)=b；于是T-1(b)=α，然而T-1属于G, 这表明，G中有一变换把b变到α，因此，b与α等价。
②若两个图形α和b都与第三个图形с等价，则α与b也互相等价。事实上,若α与с等价，则群G中必有变换T，使T(α)=с；又若b与с等价，则G中必有变换S,使S(b)=с，从而S-1(с)=b，因此，S-1T(α)=b，所以图形α与b等价。
不变量
克莱因把空间M中图形的等价性质称为几何性质或不变性质,而且把几何性质与在已知群G中任意变换下不变的量结合起来，这些不变量显然是一切等价图形所共有的。在某一群 G中一切变换下的所有不变性质称为从属于G的性质，研究从属于G的性质的几何称为从属于G的几何。
克莱因的思想
克莱因把各种几何看作是研究它们所从属的各种群的不变性质的理论，使得在19世纪80年代所发现的各种几何之间显示出更加深刻的联系，他在著名的《埃尔朗根纲领》里提出了这个群论观点。在这里引出了按照变换群来进行几何分类的思想──埃尔朗根纲领思想。例如：经过运动不变的性质就是度量性质，研究度量性质的几何叫做度量几何（欧氏几何）；经过仿射变换不变的性质就是仿射性质，研究仿射性质的几何叫做仿射几何；经过射影变换不变的性质就是射影性质，研究射影性质的几何叫做射影几何；等等。在运动群之下，距离、角度、面积、平行性、单比、交比都保持不变；在仿射变换下，距离、角度、面积都改变，但（同方向线段的）单比、平行性、共线性、交比，则保持不变；对射影群来说，单比、平行性都改变，但共线性、交比保持不变。这是因为运动群是仿射群的一个子群，而仿射群是射影群的一个子群。
小结
根据以上所述，在某一变换群之下的不变性质必是它的子群的性质，但反过来未必成立，就是说，群越大，则其几何内容越少；群越小，则其几何内容越多。例如，在欧氏几何中可以讨论仿射性质(单比、平行性等)，而在仿射几何中讨论某些度量性质（如距离、角度等）是没有意义的。
埃尔朗根纲领的提出，正意味着对几何认识的深化。它把所有几何化为统一的形式，使人们明确了古典几何所研究的对象；同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法，对以后几何的发展起了指导性的作用，故有深远的历史意义。