不定方程式
不定方程式
不定方程式 indeterminate equation未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。数论中最古老的分支之一。
定义
不定方程式
未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
三个问题
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。
发展历史
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
形式
二元一次不定方程的一般形式为ax＋by＝c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互素，即它们的最大公约数为1，(x0，y0)是所给方程的一个解， 则此方程的解可表为｛(x＝x0＋bt，y＝y0－at）｜t为任意整数｝。
S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1＋a2x2＋…＋asxs＝n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。
一类特殊的二次不定方程是x2＋y2＝z2，其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数，中国《周髀算经》中有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道 （3，4，5）是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了（5，12，13），（8，15，17）， （ 7，24，25），（20，21，29）几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2－Dy2＝1，D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。
对高于二次的不定方程，相当复杂。当n＞2时，xn＋yn＝zn没有不等于零的整数解 ，即著名的费马大定理 ，历经3个世纪 ，已由英国数学家安德鲁 维尔斯证明完全可以成立。
不定方程是数学数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
近年来，这个领域更有重要进展。但从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。