级数应用(数项级数 函数项级数)

积分应用(反常积分 含参变量积分)

狄利克雷（Dirichlet）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，与阿贝尔（Abel）判别法合称为A-D判别法。主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。

级数应用

数项级数

若数列 {an} 单调且趋向于0，│Σ(n=1,∞) bn│有界，则任意项数项级数 Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛

函数项级数

若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x∈D关于n单调，且函数列 {an(x)} 在D上一致收敛于0；同时，函数项级数 Σ(n=1,∞) bn(x) 的部分和在D上一致有界，即 存在M>0，使得│Σ(n=1,k) bn(x)│≤M (x∈D，k∈N)，则函数项级数 Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x∈D) 在D上一致收敛

积分应用

反常积分

无穷限反常积分：若F(A)=∫(a,A) f(x)dx在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上单调，且lim(x→+∞) g(x) = 0，则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛

无界函数反常积分：若F(ε)=∫(a,b-ε) f(x)dx在[0,b-a]上有界，g(x)在[a,b)上单调，且lim(x→b-) g(x) = 0，则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛

含参变量积分

若(1)、∫(a,A) f(x,y)dx一致有界，即 存在M>0，使得│∫(a,A) f(x,y)dx│≤M (a<A<+∞，y∈[c,d])；(2)、g(x,y)关于x单调，即 对于每一个固定的y∈[c,d]，g(x,y)是x的单调函数；(3)、当x→+∞时，g(x,y)关于y在[c,d]上一致趋向于0，即 对于任意ε>0，存在与y无关的正数L，使得当x≥L时，对于任意y∈[c,d]，│g(x,y)│≤ε成立。则含参变量的反常积分∫(a,+∞) f(x,y)g(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛