弗莱纳公式
弗莱纳公式
梗概
在向量微积分中，弗莱纳公式(Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗莱纳公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。
单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗莱纳标架，他们的具体定义如下：
T是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。
N是切向量 T对弧长参数的微分单位化得到的向量。B是 T和 N的外积。
弗莱纳公式如下
其中d/ds是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗莱纳公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律
弗莱纳公式
记r(t) 为欧式空间R中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗莱纳公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。
记 s(t)为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 t表示为 s的函数，因此可将曲线表示为弧长 s的函数 r(s) = r(t(s))。 s通常也被称为曲线的弧长参数。
对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗莱纳标架(或弗莱纳基底)定义如下：
单位切向量 T：
主法向量 N：副法向量 B定义为 T和 N的外积：
由于
所以 N与 T垂直。 方程 (3) 说明 B垂直于 T和 N，因此向量 T，N，B互相垂直。
弗莱纳公式如下：
其中的矩阵是反对称矩阵。
对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。
参阅
曲线仿射几何
曲线微分几何
达布标架
运动学