高维几何
高维几何
一、历史过程
历史上由欧几里得集大成，建立比较完整的欧几里得几何，后来俄国的罗巴切夫斯基, 匈牙利的鲍耶, 和德国的高斯建立了非欧几何。它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果把这条公理改成 “过直线外一点有两条以上的直线与已知直线平行”, 而保持其它公理不变, 就得到一种新的几何, 称为非欧几何.
后来人们又建立了射影几何和仿射几何。射影几何主要研究中心投影现象，而仿射几何主要研究平行投影下图形怎么变化的。
二、历史几何的不足
前述几种几何，均是研究“均匀”介质里的几何。以黎曼几何为例，虽然黎曼几何可以用球面来模拟，但是，球面本身是“均匀”的。如果考虑到空间介质是不均匀的，即可得到高维几何。
高维几何的一个特点，是考虑空间的“浓淡”，即含有元素的密度。这样，单纯的说1m^3的体积就是错误的，必须指明在哪个参考系中的1m^3——因为不同参考系的密度标准是不一样的。也就是说，地球表面的1m^3体积和离开地球表面的1m^3体积在高维几何里是不同的。
三、高维几何的定义
任何一门学科，总有些定义是用语言来描述的，本身无法定义。高维几何也一样。 若现实空间中存在m个曲线组成的曲面，存在微段dx、微角da，存在函数族xsct a 。
设m＝2，xsct函数族之xtan a、xsin a、xcos a分别满足tan a、sin a、cos a的级数形式，则此曲面为欧几里德平面。否则为非欧面，比如罗氏几何和黎曼几何。
若空间中存在共点的m个曲线，这些曲线包含于n个曲面，这n个曲面包含于此空间。
设m＝3 且 n＝3 且 xsct a 函数族满足tan a 、sin a、 cos a的级数形式，则此多维空间为三维欧几空间。
由于xsct a函数的定义有无数种，所以，当n>3时，即可得到高维几何。比如，若xsin a 大于1，则此时空间内两点之间最短的可能是条曲线。
四、高维空间的物理模型
二维空间，可以使用浓淡不一的点平面表示。两束平行入射光的经过路径是两条曲线，当存在极度浓点，那么它们就是黎曼几何（必然相交）；若浓度均匀，就是二维欧几平面；如果浓度满足一定要求，可以满足罗氏几何——过一点有N条线与已知直线平行。
高维空间，可以用密度不一的空间类似表示。如果密度dp均匀，则为三维欧几空间；如果密度不均，即存在空间扭曲，则为高维空间。
五、高维空间的示例
建立笛卡尔平面坐标系OXY，OX轴单位是cm。然后在此平面内充满具有质量的点，填充的方法是：沿OY方向均匀，沿OX方向满足在x位置dx的OY方向长条的点的质量是在x+dx位置dx质量的fx倍。
此平面可以用两种方法描述：第一是均匀分布点，但每个点的质量不同（即dp不同），这样，该平面也分布线；第二，是每个点的质量一样，但是点的稠密程度不同，此时线有“粗细”之分。
坐标系内的“直线”是什么样子？
显然，在该坐标系中，竖向的点的质量分布是均匀的（为1），横向的质量差别最大（沿长度方向为fx），那么，每一条沿线长度方向质量差别一样（为gx）的线即为该平面的直线。有兴趣的读者可以试着举例画一下。