龟兔悖论
龟兔悖论
古希腊的学者曾经提出一个著名的龟兔赛跑悖论.是这样的:乌龟先爬了一段在A1点,兔子在起点B点.兔子想要追上乌龟.但是,它在追乌龟的同时乌龟在往前爬.兔子想要追上乌龟,就必须到达乌龟开始所在的点A1.当它到达A1点时,乌龟又爬了一段到达A2点(它们之间的相对距离减小了).然后兔子又必须追赶到达A2点,可是此时乌龟又到达A3点(它们之间相对距离继续缩小).兔子想追上乌龟必须到达A3点,可是乌龟已经爬到A4点……这样下去,兔子和乌龟之间的距离会越来越小,也就是,一直跑下去,兔子和乌龟之间的距离会达到无穷小,但是，兔子无论如何也追不上乌龟.
分析
可以看到这个悖论在逻辑上是没有问题的，那么究竟是什么在出问题呢？经过分析可以发现，这个问题的关键就在于：无限小是不是有尽头？ 兔子和乌龟之间的相对距离会随着运动变成无限小，但是只有这个相对距离变成0，兔子才能够追上乌龟， 否则它们之间就隔着一道正无限小的鸿沟。可是在现实之中，兔子追上了乌龟（兔子速度大于乌龟），那么在数学的理想模型中，正无限小是否有个尽头呢？
详细来说为了更加清晰地理解和研究这个问题，不妨取一些特殊值来进行计算。例如：
如果兔子和乌龟之间的距离是8m，兔子的速度是2m/s，乌龟的速度是1m/s。
按照悖论的逻辑，它们的运动过程是这样：兔子跑完8m用了4s，在这4s中，乌龟又爬了4m。等到兔子跑完4米用了2秒，乌龟又爬了2米……
乌龟的起点在A1。兔子的起点在B。兔子和乌龟的距离为8米，随着时间推移，兔子和乌龟的距离不断减小：
4m、2m、1m、1/2 m、1/4 m、1/8 m ……
那么，可以看出兔子所跑过的距离一共为S1=8+4+2+1+ 1/2+1/4 +1/8…… …… 。同时，乌龟走过的距离一共为S2=4+2+1+ + +…… …… 这两个涉及无限的式子很难处理，如何计算出它们的值呢？
解决办法
如果我们越过这个无限小，而采用间接的方法来求是极其简单的：假设乌龟不动，兔子与乌龟的相对速度为1m/s,那么兔子追上乌龟只需要8s。也就是说，8秒以后，兔子跑了16米，乌龟爬了8米，那么兔子就追上了乌龟。
也就是说兔子是可以追上乌龟的，这个无限小的距离最后被越过了！这就要求，从数学角度来说， 一个无限小的正数在某个条件下最终能够取到0，这个正无限小的运动必须有个极限！而这个极限就是1/0 再来看一看上面式子，它是一个公比为1/2的等比数列的无限项的和。按照我的理论，无限持续下去就可以达到极限，这里一共有1/0项，最后一项为0。S1=8+4+2+1+1/2+ 1/4+…… ……+0。既然知道了首项，公比和项数，那么就可以使用等比数列求和公式来计算了。
通过计算结果可以知道，只要承认了1/0的存在，就可以引用极限概念从数学角度解决这个悖论。同时，这将对数学概念产生极大的影响。一个正无限小的趋势，运行到极限时，就可以取到0。而无限大和无限小运行到极限时，就都会变成一个极限数 。这个观念如果得到承认，将是一个理念上的巨大突破。
物理意义
同时从物理意义来说，这也启示我们：物质的分割是有一个尽头的，在分到极限时，可以将物质分到虚无，它是不存在，就是一种特殊的存在状态。人们在分割物质的时候没有能力分到极限，但这并不意味着在自然之中的运动和变化无法达到极限。在这个龟兔赛跑的悖论中，运动达到了极限，最终使这个无限小运动到了0，使兔子追上了乌龟。
注：
这个悖论来自于“芝诺悖论”。