豪斯多夫极大原理
豪斯多夫极大原理
简介
豪斯多夫极大原理声称对任何偏序集中的任何一条链,都存在这个偏序集中的一条极大链包含这条链。
豪斯多夫极大原理是佐恩引理的一种更早的形式化表述。事实上,在ZF公理集合论系统中,它和佐恩引理,从而和选择公理,是等价的。
与选择公理的关系
ZFC中的证明
豪斯多夫极大原理是一条ZFC公理集合论系统中的定理。它可以由佐恩引理证明如下:
对任何偏序集(P,≤)和其中的任一条链A,所有包含A的链按照包含关系可构成一个偏序集(T,≤),由于后者的任一条链S代表前者的一组两两之间相互有包含关系且包含A的链,所以这组链的并集仍是一条包含A的链,且是S的一个上界。根据佐恩引理,偏序集(T,≤)有极大元素M,M即为一条包含A的极大链。
反推选择公理
在ZF中,由豪斯多夫极大原理可以简单地证明佐恩引理,从而也推出了选择公理:
对任何偏序集(P,≤),空集是它的一条链,根据豪斯多夫极大原理,存在它的一条极大链S。若偏序集(P,≤)满足佐恩引理的条件,即所有的链都有上界,则这条极大链S也有一个上界M。显然不存在M''>M,否则把M''接到S上得到一条更长的链,与S的极大性矛盾。故M即为原偏序集中的一个极大元素。
由此可见,在ZF中,豪斯多夫极大原理是众多与选择公理等价的命题之一。