内容表述

卡尔松不等式(Carlson)，卡尔松不等式往往也被称为矩阵长方形不等式

m×n的非负实数矩阵中，n列每列元素之和的几何平均值不小于矩阵中m行每行元素的几何平均值之和。

符号语言即：

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)

注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，x,y,…表示各行的名称，共m个。

数学证明

证明 记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….

由平均值不等式得

(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n),

……

上述m个不等式叠加得

1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)＋…

即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)＋…

即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)＋…]^n

即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，

因此,不等式(1'')成立.

特别地，当n=2时,不等式(*)即为柯西不等式.

______________更清楚点______________