扩展的实数轴
扩展的实数轴
扩展的实数轴 由实数轴 R 加上 +∞ 和 −∞ 得到(注意 +∞ 和 −∞ 并不是实数),写作 R 或 [−∞,+∞]。扩展的实数轴在研究数学分析,特别是积分时非常有用。
扩展
对任意实数 a,定义 −∞ ≤ a ≤ +∞,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界和下确界:这是一个完备格。全序关系在 R 上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合 U 是 +∞ 的邻域,当且仅当它包含集合 {x : x ≥ a},这里 a 是某个实数。−∞ 的邻域类似。R 是个紧致的豪斯多夫空间,与单位区间 [0,1] 同胚。
R 上的算术运算可以部分地扩展到 R,如下:
* 若 a ≠ −∞,a + ∞ = ∞ + a = ∞
* 若 a ≠ +∞,a − ∞ = −∞ + a = −∞
* 若 a > 0,a × +∞ = +∞ × a = +∞
* 若 a < 0,a × +∞ = +∞ × a = −∞
* 若 a > 0,a × −∞ = −∞ × a = −∞
* 若 a < 0,a × −∞ = −∞ × a = +∞
* 若 −∞ < a < +∞,a / ∞ = 0
* 若 0 < a < +∞,∞ / a = ∞
* 若 −∞ < a < 0,+∞ / a = −∞
* 若 −∞ < a < 0,−∞ / a = +∞
通常,不定义 ∞ − ∞,0 × ∞ 和 ∞ / ∞。同时,1 / 0 也不定义为 +∞ (这样会对 −∞ 不公平)。这些规则是根据无穷极限的性质确定的。
注意,在这些定义下,R 不是域,也不是环。
性质
经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质:
* a + (b + c) 和 (a + b) + c 相等或同时没有定义。
* a + b 和 b + a 相等或同时没有定义。
* a × (b × c) 和 (a × b) × c 相等或同时没有定义。
* a × b 和 b × a 相等或同时没有定义。
* a × (b + c) 和 (a × b) + (a × c) 若都有定义则相等。
* 若 a ≤ b 且 a + c 和 b + c 都有定义,则 a + c ≤ b + c。
* 若 a ≤ b 且 c > 0 且 a × c 和 b × c 都有定义,则 a × c ≤ b × c。
通常,只要表达式都有定义,所有算术性质在 R 上都成立。
使用极限,一些函数可以自然地扩展到 R。例如,可以定义exp(−∞) = 0,exp(+∞) = +∞,ln(0) = −∞,ln(+∞) = ∞ 等等。