偏微分方程
偏微分方程
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
《偏微分方程》目录(第1章 一阶标量拟线性方程 第2章 一阶拟线性方程组 第3章 二阶标量方程引论 第4章 双曲型方程 第5章 椭圆型方程 第6章 抛物型方程 第7章 自由边值问题 第8章 非拟线性方程 第9章 杂记)
偏微分方程简介
在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。
起源
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
内容
偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。
弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。
弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。
用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。
拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。
天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。
就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。
当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。
在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。
求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。
偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。
应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。
常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
解法：1，首先变为标准型，看是哪种类型，如椭圆型，双曲型。抛物型。
2，归结为四大基本方程：波动，热传导，传输，
3。按其解法解决
《偏微分方程》目录
第二版序
第一版序
引言
第1章 一阶标量拟线性方程
1．1 引言
1．2 Cauchy数据
1．3 特征线
1．3.1 线性方程和半线性方程
1．4 定义域和破裂
1．5 拟线性方程
1．6 间断解
1．7 弱解
1．8 多自变量
1．9 附录
习题
第2章 一阶拟线性方程组
2．1 动机与模型
2．2 Cauchy数据和特征线
2．3 Cauchy-Kowalevskaja定理
2．4 双曲性
2．4.1 2×2方程组
2．4.2 n维方程组
2．4.3 例子
2．5 弱解和激波
2．5.1 因果律
2．5.2 黏性和熵
2．5.3 其他不连续性
2．6 具有多于两个自变量的方程组
习题
第3章 二阶标量方程引论
3．1 绪论
3．2 半线性方程的Cauchy问题
3．3 特征线
3．4 半线性方程的标准型
3．4.1 双曲型方程
3．4.2 椭圆型方程
3.4.3 抛物型方程
3．5 一些一般注记
习题
第4章 双曲型方程
4．1 引言
4．2 线性方程：cauchy问题的解
4．2.1 Riemann函数的特定求法
4．2.2 Riemann函数的基本原理
4．2.3 Riemann函数表达式的含义
4．3 无Cauchy数据的波动方程
4．3.1 强间断的边界数据
4．4 变换和特征函数展开
4．5 对波动方程的应用
4．5.1 一维空间的波动方程
4．5.2 圆和球对称性
4．5.3 电报方程
4．5.4 周期介质中的波
4．5.5 一般注记
4．6 多于两个自变量的波动方程
4．6.1 降维法和Huygens原理
4．6.2 双曲性和类时性
4．7 高阶方程组
4．7.1 线性弹性力学
4．7.2 Maxwell电磁波方程组
4．8 非线性性
4．8.1 简单波
4．8.2 速度图方法
4．8.3 Liouville方程
4．8.4 另一种方法
习题
第5章 椭圆型方程
5．1 模型
5．1.1 万有引力
5．1.2 电磁场
5．1.3 热传导
5．1.4 力学
5．1.5 声学
5．1.6 机翼理论与断裂
5．2 适定的边界数据
5．2.1 Laplace方程和Poisson方程
5．2.2 更一般的椭圆型方程
5．3 最大值原理
5．4 变分原理
5．5 Green函数
5．5.1 经典函数公式
5．5.2 广义函数公式
5．6 Green函数的显式表达式
5．6.1 Laplace方程与Poisson方程
5．6.2 Helmholtz方程
5．6.3 修正Helmholtz方程
5．7 Green函数，特征函数展开与变换
5．7.1 特征值与特征函数
5．7.2 Green函数与变换
5．8 椭圆型方程的变换解
5.8.1 柱坐标对称下的Laplace方程：Hankel变换
5．8.2 楔形几何形状内的：Laplace方程；Mellin变换
5．8.3 Helmholtz方程
5．8.4 高阶问题
5．9 复变量方法
5．9.1 共形映射
5．9.2 Riemann-Hilbert问题
5．9.3 混合边值问题和奇异积分方程
5．9.4 Wiener-Hopf方法
5．9.5 奇异性和指标
5．10 局部化边界数据
5．11 非线性问题
5．11.1 非线性模型
5．11.2 存在性和唯一性
5．11.3 独立参数和奇异行为
5．12 再论Liouville方程
5．13 后记：▽2或者－△
习题
第6章 抛物型方程
前言
6．1 扩散过程的线性模型
6．1.1 热量和质量的传递
6．1.2 概率与金融
6．1.3 电磁学
6．1.4 一般注记
6．2 初一边值条件
6．3 极值原理和适定性
6．3.1 强极值原理
6．4 Green函数和热传导方程的变换方法
6．4.1 Green函数：一般注记
6．4.2 无边界热传导方程的Green函数
6．4.3 边值问题
6．4.4 对流一扩散问题
6．5 相似解和群
6．5.1 常微分方程
6．5.2 偏微分方程
6．5.3 一般注记
6．6 非线性方程
6．6.1 模型
6．6.2 理论注记
6．6.3 相似解与行波
6．6.4 比较方法与极值原理
6．6.5 破裂
6．7 高阶方程和方程组
6．7.1 高阶标量问题
6．7.2 高阶方程组
习题
第7章 自由边值问题
7．1 引言与模型
7．1.1 Stefan问题及相关问题
7．1.2 扩散中的其他自由边值问题
7．1.3 力学中的某些自由边值问题
7．2 稳定性和适定性
7．2.1 表面重力波
7.2.2 涡片
7．2.3 Hele－Shaw流
7．2.4 激波
7．3 经典解
7．3.1 比较方法
7．3.2 能量方程与守恒量
7．3.3 Green函数方法与积分方程
7．4 弱解和变分方法
7．4.1 变分方法
7．4.2 焓方法
7．5 显式解
7．5.1 相似解
7．5.2 复变量方法
7．6 正则化
7．7 后记
习题
第8章 非拟线性方程
8．1 引言
8．2 一阶标量方程
8．2.1 两个自变量
8．2.2 更多自变量的情形
8．2.3 短时距方程
8．2.4 特征值问题
8．2.5 色散
8．2.6 次特征
8．3 Hamilton-Jacobi方程和量子力学
8．4 高阶方程
习题
第9章 杂记
9．1 引言
9．2 线性方程组重提
9．2.1 线性方程组：Green函数
9．2.2 线性弹性
9．2.3 线性无黏水动力学
9．2.4 波传播的放射条件
9．3 复特征和分类
9．4 有一个实特征的拟线性组
9．4.1 具有电阻发热的热传导
9．4.2 空间电荷
9．4.3 流体动力学：Navier-Stokes方程
9．4.4 无黏流：Euler方程
9．4.5 黏性流
9．5 介质之间的相互作用
9．5.1 流体/固体声学相互作用
9．5.2 流体/流体重力波相互作用
9．6 规范与不变性
9．7 孤立子
习题
结语
参考文献
索引
新版图书信息
书 名： 偏微分方程
作 者：孔德兴
出版社：高等教育出版社
出版时间：2010年9月1日
ISBN: 9787040304480
开本：16开
定价： 45.30元
内容简介
《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
《偏微分方程》可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。
图书目录
第一章 绪论
1 常用符号
2 基本概念
3 一些例子
4 纵览
第二章 一阶方程
1 一个简单线性方程
1．1 解析求解：特征线方法
1．2 近似求解：有限差分方法
2 一类简单拟线性方程
2．1 Burgers方程
2．2 一般情形
2．3 导数的突变和破裂时间
3 拟线性方程的几何理论
4 拟线性方程的Cauchy问题
4．1 Cauchy问题
4．2 局部解的存在性
4．3 解的存在唯一性条件
4．4 一种特殊情况：线性偏微分方程
4．5 高维情形
4．6 例子
5 一阶偏微分方程组
5．1 一阶线性偏微分方程组
5．2 一阶拟线性偏微分方程组
6 总结与思考
第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程
1 拟线性二阶方程的特征
2 奇性的传播
3 二阶线性方程的标准形
4 一维波动方程
5 总结与思考
第四章 波动方程
1 一维波动方程：方程的导出及定解条件
1．1 方程的导出
2．1 定解条件
2 一维波动方程：Cauchy问题
2．1 叠加原理
2．2 齐次化原理
3 一维波动方程：初边值问题
3．1 分离变量法
3．2 非齐次方程
3．3 非齐次边界条件
4 高维波动方程的Cauchy问题
4．1 高维空间中的波动方程
4．2 定解条件
4．3 球平均法
4.4 Hadamard降维法
4．5 非齐次波动方程Cauchy问题的解
5 波的传播
5．1 基本概念
5．2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象
5．3 解的衰减
5．4 解的正则性
6 一般的Cauchy问题与初边值问题
6．1 一般的Cauchy问题
6．2 初边值问题
7 能量不等式
7．1 动能和位能
7．2 初边值问题解的唯一性与稳定性
7．3 Cauchy问题解的唯～性与稳定性
8 总结与思考
第五章 热传导方程
1 热传导方程的导出及其定解条件
1．1 方程的导出
1．2 定解条件
2 Cauchy问题
2．1 Fourier变换
2．2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法
2．3 解的存在性
3 初边值问题
4 极值原理
4．1 极值原理
4．2 初边值问题
4．3 Cauchy问题
5 Li-Yau估计与Harnack不等式
6 渐近性态
6．1 初边值问题
6．2 Cauchy问题
7 总结与思考
第六章 Laplace方程
1 方程的导出及定解条件的提法
1．1 方程的导出
1．2 定解条件
2 变分法
2．1 变分问题与Euler-Lagrange方程
2．2 变分原理
2．3 变分问题与定解问题的求解
3 调和函数
3．1 Green公式
3．2 基本积分公式
3．3 基本性质
3．4 极值原理
3．5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性
4 Green函数
4．1 引进Green函数的动机及其基本性质
4．2 镜像法
4.3 解的验证
5 调和函数(续)
6 强极值原理
6．1 强极值原理
6．2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性
7 总结与思考
第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步
1 拟线性双曲守恒律方程组
1．1 基本概念
1．2 例子
1．3 解的破裂
2 间断解
2．1 解的定义
2．2 Rankine-Hugoniot条件
2．3 熵条件
2．4 Riemann问题
3 非线性波：经典解情形
3．1 疏散波与压缩波
3．2 应用实例——追赶问题
4 非线性波：间断解情形
4．1 单个守恒律
4．2 激波的形成与传播
4．3 Riemann问题(续)
5 总结与思考
第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理
1 准备知识
1．1 多重无穷级数
1．2 实解析函数
1．3 实解析函数(续)
2 Cauchy-Kovalevskaya定理
2．1 Cauchy-Kovalevskaya定理
2．2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明
3 一些注记
附录一 Fourier反演公式
附录二 Li-Yau估计
参考文献