施莱夫利符号
施莱夫利符号
数学中，施莱夫利符号(Schläfli symbol)是一个可以表示一特定正多胞体若干重要特性的符号。其命名是为了纪念19世纪数学家路德维希施莱夫利在几何和其他领域的许多重要贡献。
符号简介
在高维数学中，施莱夫利符号是一个可以表示一特定多胞形若干重要特性的符号。其命名是为了纪念19世纪数学家路德维希施莱夫利在几何和其他领域的许多重要贡献。
正多边形
一个有n个边的多边形，其施莱夫利符号为{n}。例如，施莱夫利符号为{5}的多边形即为五边形。
星形多边形
星形多边形(Star polygon)指的是正非凸多边形，即边长相等的凹多边形或复杂多边形。星形多边形的施莱夫利符号若为{p/q}，表示此一星形多边形有p的角，每一个角都和次q的角相连。因此{5/2}即代表的是五芒星。
星芒形
当p和q不互质时，此时的星形多边形即称为星芒形(star figure)。若p跟q的最大公因子为n，此一星芒形即是由n个{p/n/q/n}相互旋绕而成。例如，{6/2}，即六芒星（也称作2{3}），便是由两个三角形{3/1}所组成的，而{10/4}则是由两个五芒星所组成。
星芒形一般不会用在更高维的星形多面体与星形多胞体上，它实际上是一种复合多边形/复合星形多边形，而非“星形多边形”。它的三维类比是Stellation，即复合多面体/复合星形多面体——而这个Stellation是不会用施莱夫利符号表示的
正多面体
“正多面体的施莱夫利符号计做{p,q}，其中p代表每个面的顶点数，而q代表每个顶点和几个面相连”
——摘自中文wiki（居然只是很不厚道地摘取最简单的，四维以后的却没有写进去）
在正多面体{p,q}中，p可以说是表示每个面是正p边形，q可以说是表示每个顶点的情况，也表示顶点图是正q边形。
如正十二面体的施莱夫利符号是{5,3}，表示立方体的表面由正【5】边形构成，围绕任意一个点转一圈会划过【3】个正5边形（每个顶点和【3】个面相连）正多面体
正多胞体
在四维空间中，一个正多胞体用符号{p,q,r}表示。
其中{p,q}表示组成这个正多胞体三维表面(Facet)，当然{p,q}是正多面体；{q,r}表示每个顶点的情况，即顶点图(Vertex Figure)**；{r}是Edge Figure，表示每条棱的情况，与三维一样类比过来，简单地说r表示的是每条棱与多少个三维胞相连
如超立方体的施莱夫利符号是{4,3,3}，表示它的表面由立方体{4,3}构成，它的顶点图是正四面体{3,3}，每条棱与【3】（{3,3}的第二个“3”）个立方体相连
五维及更高维的正多胞形
在更高维的空间里，可以通过四维空间的施莱夫利符号的表示意义进行类比
一个n维空间的正多胞形(Regular n-polytope)用施莱夫利符号{p1,p2,...,pn-2,pn−1}表示，其中{p1,p2,...,pn−2}表示构成它的n-1维正多胞形；而{p2,p3,...,pn−1}则表示它的顶点图
事实上五维以及更高的维度中，每个维只有三个正多胞形，分别是
n-单形(n-simplex):{3,3,...,3}，缩写{3^n-1}（符号中有n-1个3，下同），自身对偶
n-正方体(n-cube):{4,3,3,...,3}，缩写{4,3^n-2}，n-cross对偶
n-正轴体(n-cross)（其实这个没有中文翻译，名字来自日语）:{3,3,...,3,4}，缩写{3^n-2,4}
各种正多胞形的施莱夫利符号
零维：（一种）
点： （符号为空）
一维：（一种）
线段：{}
二维：
正多边形与星形正多边形（∞）
如果p>2且p是整数，则有{p}为正多边形
如果p>2q≥2且p与q互质，则有{p/q}为星形正多边形
欧式一维正镶嵌（一种）
正无穷边形：{∞}
三维：
正多面体（五种）
正四面体：{3,3}
立方体：{4,3}
正八面体：{3,4}
正十二面体：{5,3}
正二十面体：{3,5}
星形正多面体（四种）
小星形十二面体：{5/2,5}
大十二面体：{5,5/2}
大星形十二面体：{5/2,3}
大二十面体：{3,5/2}
欧式（平面）正镶嵌（三种）
正六边形平面镶嵌：{6,3}
正方形平面镶嵌：{4,4}
正三角形平面镶嵌：{3,6}
双曲正镶嵌与星形双曲正镶嵌（∞）
当2p+2q<pq，且p,q为正整数时，则有{p,q}为双曲正镶嵌
当m>6且m为奇数时，则有{m,m/2}和{m/2,m}为星形双曲正镶嵌
四维：
正多胞体（六种）
正五胞体：{3,3,3}
超正方体：{4,3,3}
正十六胞体：{3,3,4}
正二十四胞体：{3,4,3}
正一百二十胞体：{5,3,3}
正六百胞体：{3,3,5}
星形正多胞体（十种）
（星形正多胞体的几何用语非常难翻译，个人把Grand译为“重”）
Icosahedral 120-cell（二十面体形一百二十胞体）：{3,5,5/2}
Small stellated 120-cell（小星形一百二十胞体）：{5/2,5,3}
Great 120-cell（大一百二十胞体）：{5,5/2,5}
Grand 120-cell（重一百二十胞体）：{5,3,5/2}
Great stellated 120-cell（大星形一百二十胞体）：{5/2,3,5}
Grand stellated 120-cell（重星形一百二十胞体）：{5/2,5,5/2}
Great grand 120-cell（重大一百二十胞体）：{5,5/2,3}
Great icosahedral 120-cell（二十面体形大一百二十胞体）：{3,5/2,5}
Grand 600-cell（大六百胞体）：{3,3,5/2}
Great grand stellated 120-cell（重大星形一百二十胞体）：{5/2,3,3}
欧式三维正堆砌（一种）
立方体正堆砌：{4,3,4}
双曲三维正堆砌（四种）
考虑到这种双曲堆砌的组成和顶点图只能是正多面体（不能是正镶嵌），故只有有限种
（order-n是翻译作n-阶吗？）
3阶正二十面体正堆砌：{3,5,3}
5阶立方体正堆砌：{4,3,5}
4阶正十二面体正堆砌：{5,3,4}
5阶正十二面体正堆砌：{5,3,5}
五维：
五维正多胞形（三种）
五维正单形(Hexateron)：{3,3,3,3}
五维正方形(Penteract，Decateron)：{4,3,3,3}
五维正轴形(Pentacross，Triacontakaiditeron)：{3,3,3,4}
欧式四维正堆砌（三种）
超正方体正堆砌：{4,3,3,4}
正十六胞体正堆砌：{3,3,4,3}
正二十四胞体正堆砌：{3,4,3,3}
双曲四维正堆砌（五种）
考虑到这种双曲堆砌的组成和顶点图只能是正多面体（不能是正镶嵌），故只有有限种
（order-n是翻译作n-阶吗？）
3阶正一百二十胞体正堆砌：{5,3,3,3}
5阶正五胞体正堆砌：{3,3,3,5}
4阶正一百二十胞体正堆砌：{5,3,3,4}
5阶超正方体正堆砌：{4,3,3,5}
5阶正一百二十胞体正堆砌：{5,3,3,5}
星形双曲四维正堆砌（四种）
3阶小星形一百二十胞体正堆砌：{5/2,5,3,3}
5/2阶正六百胞体正堆砌：{3,3,5,5/2}
5阶二十面体形一百二十胞体正堆砌：{3,5,5/2,5}
3阶大一百二十胞体正堆砌：{5,5/2,5,3}
更高：
更高维的正多胞形（均三种）
n-单形(n-simplex)：{3,3,...,3}，缩写{3^n-1}（符号中有n-1个3，下同），自身对偶
n-正方体(n-cube)：{4,3,3,...,3}，缩写{4,3^n-2}，与n-cross对偶
n-正轴体(n-cross)：{3,3,...,3,4}，缩写{3^n-2,4}，与n-cube对偶
更高维的欧式正堆砌（均一种）
n维正方体正堆砌：{4,3,…,3,4}，缩写{4,3^n-2,4}，自身对偶