随机有限元法
随机有限元法
基本概念
结构工程中存在诸多的不确定性因素，从结构材料性能参数到所承受的主要荷载，如车流、阵风或地震波，无不存在随机性。在有限单元法已成为分析复杂结构的强有力的工具和广泛使用的数值方法的今天，人们已不满足精度越来越高的确定性有限元计算，而设法用这一强有力的工具去研究工程实践中存在的大量不确定问题。随机有限元法（Stochastic FEM）,也称概率有限元法（Probabilistic FEM）正是随机分析理论与有限元方法相结合的产物，是在传统的有限元方法的基础上发展起来的随机的数值分析方法。
发展历程
在 20 世纪 70 年代初， Cambou 首先采用一次二阶矩方法研究线弹性问题。由于这种方法将随机变量的影响量进行 Taylor级数展开， 就称之为 Taylor 展开法随机有限元 （TSFEM） 。Shinozuka 和 Astill（1972)分别独立运用摄动技术研究了随机系统的特征值问题。随后，Handa（1975）等人在考虑随机变量波动性时采用一阶和二阶摄动技术，并将这种摄动法随机有限元成功地应用于框架结构分析。Vanmarcke 等人（1983）提出随机场的局部平均理论，并将它引入随机有限元。 局部平均理论是用随机场函数在每一个离散单元上的局部平均的随机变量来代表该单元的统计量的近似理论。Liu W. K.等人（1986、1988）的系列工作，提供了一种“主模态”技术，运用随机变量的特征正交化方法，将满秩的协方差矩阵变换为对角矩阵，减少计算工作量，对摄动随机有限元法的发展做出贡献，此外，提出了一个随机变分原理。
Yamazaki 和 Shinozuka(1987)创造性地将算子的 Neumann 级数展开式引入随机有限元的列式工作。从本质上讲，Neumann级数展开方法也是一类正则的小参数摄动方法，正定的随机刚度矩阵和微小的随机扰动量是两个基本要求， 这两个基本要求保证了摄动解的正则性和收敛性，其优点在于摄动形式较简单并可以得到近似解的高阶统计量。Shinozuka 等人（1987）将随机场函数的 Monte-Carlo 模拟与随机刚度矩阵的eumann 级数展开式结合,得到具有较好指出， 将出现以随机变分原理为基础的随机有限元法来逐渐取代以摄动法为基础的随机有限元法。 Spanos和Ghanem等人 （1989， 1991） 结合随机场函数的Karhuen-Loeve展式和Galerkin（迦辽金）射影方法建立了相应的随机有限元列式，并撰写了随机有限元法领域的第一本专著《随机有限元谱方法》 。