旋转曲面
旋转曲面
3 旋转曲面
一 定义: 曲线 C绕定直线 旋转一周所形成的曲面称为 旋转曲面 。其中C——母线,
——轴,与 垂直的任一平面与旋转曲面交成一圆——维圆,过 的任一平面与旋转曲面交成一圆——经线(子午线)
注 :旋转曲面的母线不唯一,它的任一经线均是其母线。
二 方程:
设在直角系下,旋转曲面Σ的母线
C:
轴 :
则 M(x,y,z)∈Σ〈═〉M在某一纬圆上〈═〉 ( , , )∈C使 ⊥ ,且∣ ∣=∣ ∣ ( ( , , )∈ )
〈═〉 (1)
(x- )X+(y- )Y+(z- )Z=0 (2)
且( - )2+( - )2+( - )2=(x- )2+(y- )2+(z- )2 (3)
从(1)——(3)中消去 , , 得
H(x,y,z)=0
此即为旋转曲面Σ的方程
例 :求直线 : 绕直线 :x=y=z旋转所形成的旋转面方程。
解 :略。
三 坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转面方程:
1、设有 面上一曲线C:
当C绕z轴旋转时,设所得旋转面为Σ,则
M(x,y,z)∈Σ〈═〉 , , ,使 (1)
( x - )0+( y - )0+( z - )=0 (2)
且 x 2 + y 2 + z 2 = 2+ 2+ (3)
从(1)—(3)中消去 , , ,得
(i)F( ,z)=0
此即为Σ的方程
同理,让C绕y轴旋转,所得旋转面方程为
(ii)F(y, )=0
若让C绕x轴旋转,不回得到新的曲面
2、与上述过程相仿,可求出 面的曲线C: ,
绕 x轴旋转,所得旋转面为
( iii)F(x, )=0
绕 z轴旋转,所的到的旋转面为
( iv)F( ,z)=0
3、 面上的曲线C: 绕x轴旋转所得旋转面为
(v) F(x, )=0
绕y轴旋转,所得旋转面为
(vi)F( ,y)=0
总结(i)--(vi)的知:
某一坐标面上的曲线C绕该坐标面上某一坐标轴旋转,所得旋转面方程可以这样求得:在C的方程中的给坐标面方程里,与旋转轴同名的坐标保留不动,而将另一坐标换为与旋转轴不同的二坐标的平方和的平方根。
例 : 面上的椭圆
绕x轴旋转所得旋转面为
———旋转椭球面
绕y轴旋转,所得旋转面为
———旋转椭球面