最小方差控制
最小方差控制
概念简介
使有随机噪声作用的系统的输出量的起伏方差保持为最小的控制方式。最小方差控制方式可应用于许多工业过程控制中。最小方差控制是随机最优控制（见随机控制理论）的特殊情形。随机控制的概念和方法也完全适用于这类控制。最小方差控制的求解和实现更为简单，应用更为方便。
公式推导
假定对象输出y(t)、控制输入u(t)和随机干扰 ε(t)之间的关系由可控自回归滑动平均(CARMA)时间序列模型来描述： y(t)+a1y(t-1)+…any(t-n) ＝b0u(t-k)+b1u(t-k-1)+…+bnu(t-k-n)+ ε(t)+c1ε(t-1)+…+cnε(t-n)
式中t时刻输出值y(t)与直到n步前的值 y(t-n)有关这一事实，反映了运动过程的记忆性；输入u(t-k)要经过k步延迟才能影响输出值;ε(t)为前后独立的随机干扰序列。引入延迟算子q:qx(t)=x(t-1),并采用多项式记号： A(q)＝1+a1q+…+anqn
B(q)＝b0+b1q+…+bnqn
C(q)＝1+c1q+…+cnqn
则系统模型可简化为 A(q)y(t)＝B(q)u(t-k)+C(q)ε(t)
最小方差控制是使输出y(t)的方差V＝E{y(t)}取最小值的控制。由于控制u(t)只与y(t)、y(t-1)、…和u(t-1)、u(t-2)、…等已获取的信息有关,而u(t)直到k步后才开始影响输出y(t+k)的值,因此实现最小方差控制的关键在于预报k步以后的输出，然后选取控制值,使预报值恰等于理论值。最优控制解为 u＝-B(q)G(q)F(q)y(t)
式中多项式F和G由下列方程解出 C(q)=F(q)A(q)+qG(q)
这里F的阶数不超过k-1。这类有限步数的最小方差控制还可推广到无穷步数的情形和多输入、多输出情形。
参考书目
K.J.奥斯特略姆著,潘裕焕译:《随机控制理论导论》，科学出版社,北京，1983。(K.J. Astr╂m，Introduction to Stochastic Control Theory，Academic Press, New York,1970.)