康托尔函数
康托尔函数
连续函数可以在（x）几乎没任何改变的情况下，值却有大幅增长。
首先，我们定义康托尔集C：
将基本区间[0，1]用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间（1/3，2/3），把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（1/9，2/9）,（7/9，8/9）。然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。
这样，我们得到被去掉的开集G=(1/3,2/3)∪(1/3^2,2/3^2)∪(7/3^2,8/3^2)∪(1/3^3,2/3^3)∪(7/3^3,8/3^3)∪(19/3^3,20/3^3)∪(25/3^3,26/3^3)∪......康托尔集C=[0，1] - G。
下面，我们定义康托尔函数：
引进[0，1]中小数的三进制表示来考察，例如1/3(10)=0.1(3)(括号中的数表示进制)，2/3(10)=0.2(3)，1/9(10)=0.01(3)，2/9(10)=0.02(3)，7/9(10)=0.21(3)，8/9(10)=0.22(3)，但是1/3又可表示成0.02222...(3)，这里约定用无限表示。基于此，可以发现，(1/3，2/3)区间中的数用3进制表示时，第一个不为0 的数一定是1。归纳可证，G中的点，表示成三进制时，必有一位为1，而C={0.x1x2x3...(3)：每个xi为0或2}。（由此可以看到C的势为 阿列夫）
现在定义函数f：C -->[0，1]，令yi=xi/2，f(x)=0.y1y2y3...(2)，其中x=0.x1x2x3...(3).
则对G中区间的端点，函数值相等。
如f(1/3)=f(0.02222...(3))=0.01111(2)=0.1(2) f(2/3)=f(0.2(3))=0.1(2) = f(1/3)
其他区间端点同样可得。
将f的定义域扩展到[0，1]，使G中区间里的所有点的值定义为端点的值。由于C中没有孤立点，且f在C上是单调的，这样f：[0,1]-->[0,1]，是连续的。
这个函数的导数恒等于0，但他的值却从0增加到了1。